Logarytmy i potęgi — zakres rozszerzony

Przykłady

1. 1.
   Matura rozszerzona, maj 2024, zadanie 5 (3 pkt). Wykaż, że jeżeli $\log_5 4 = a$ oraz $\log_4 3 = b$, to

   $\log_{12} 80 = \frac{2a + 1}{a \cdot (1 + b)}$
2. 2.
   Matura 2024, zadanie 5. Wszystko zamieniamy na podstawę $2$: $a = \log_5 4 = 2 / (\log_2 5)$, więc $\log_2 5 = 2 / a$; $b = \log_4 3 = (\log_2 3) / 2$, więc $\log_2 3 = 2b$. Rozkładamy: $80 = 2^4 \cdot 5$ oraz $12 = 2^2 \cdot 3$.
3. 3.
   Chwyt z wyrażeniem sprzężonym.

   $(\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}})^2$

   $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) - 2 \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

   $= 4 - 2 \sqrt{4 - 3} = 4 - 2 = 2$