Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Ciąg i jego wzór ogólny

Ponumerowana lista liczb. Numer mówi, które to miejsce w kolejce, a wartość — jaka liczba na tym miejscu stoi.

Definicja

Ciąg liczbowy

Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich. Wartość dla argumentu nn zapisujemy ana_n i nazywamy nn-tym wyrazem ciągu. Cały ciąg oznaczamy (an)(a_n).
Definicja

Wzór ogólny i wzór rekurencyjny

Wzór ogólny podaje ana_n wprost jako wyrażenie zależne od nn, na przykład an=3n−2a_n = 3n - 2. Wzór rekurencyjny podaje pierwszy wyraz oraz zależność między kolejnymi, na przykład a1=3a_1 = 3 i an+1=2an−1a_{n+1} = 2 a_n - 1.

Po ludzku

Wzór ogólny liczy dowolny wyraz od razu. Rekurencyjny mówi, jak z jednego wyrazu zrobić następny — żeby dojść do setnego, trzeba przejść przez wszystkie wcześniejsze.
Definicja

Ciąg rosnący i malejący

Ciąg (an)(a_n) jest rosnący, gdy dla każdego n≥1n \ge 1 zachodzi an+1>ana_{n+1} > a_n, czyli gdy an+1−an>0a_{n+1} - a_n > 0 Jest malejący, gdy ta różnica jest ujemna dla każdego nn.

Po ludzku

Nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów. Warunek musi zachodzić dla KAŻDEGO nn — dlatego badamy różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n raz, ogólnie.

Przykłady

  1. an=2n+5a_n = 2n + 5.
    an+1=2(n+1)+5=2n+7a_{n+1} = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7
    an+1−an=(2n+7)−(2n+5)=2a_{n+1} - a_n = (2n + 7) - (2n + 5) = 2
    Różnica jest stała i dodatnia, więc ciąg jest rosnący.
  2. Odsetki na lokacie. Kapitał rośnie co roku o 55 %. Wzór rekurencyjny mówi wprost, co się dzieje:
    k1=1000,kn+1=1,05⋅knk_1 = 1000, \quad k_{n+1} = 1\text{,05} \cdot k_n