Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Równania liniowe

Równanie to pytanie: dla jakich liczb ta równość jest prawdziwa. Rozwiązać je znaczy wypisać wszystkie takie liczby — czasem jedną, czasem żadnej, czasem wszystkie.

Definicja
Równaniem liniowym z niewiadomą xx nazywamy równanie dające się zapisać w postaci
ax+b=0,a,b∈Ra x + b = 0, \quad a, b \in \mathbb{R}
Rozwiązaniem równania nazywamy każdą liczbę, która po podstawieniu w miejsce xx daje zdanie prawdziwe.
Definicja

Przekształcenia równoważne

a=b⇔a+c=b+ca = b \quad \Leftrightarrow \quad a + c = b + c
a=b⇔a⋅c=b⋅c(c≠0)a = b \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot c = b \cdot c \quad (c \ne 0)

Po ludzku

Wolno dodać, odjąć, pomnożyć i podzielić — byle obustronnie i byle nie przez zero. Wtedy zbiór rozwiązań się nie zmienia, a o to chodzi.
Definicja

Trzy przypadki równania ax+b=0a x + b = 0

a≠0a \ne 0: dokładnie jedno rozwiązanie x=−b/ax = -b / a
a=0a = 0 i b=0b = 0: równanie tożsamościowe, rozwiązaniem jest R\mathbb{R}
a=0a = 0 i b≠0b \ne 0: równanie sprzeczne, brak rozwiązań

Po ludzku

Gdy iksy znikają z obu stron, przestań szukać liczby. Popatrz, co zostało: jeśli prawda — pasuje każdy xx, jeśli fałsz — żaden.

Przykłady

  1. 3x−5=10∣+5⇒3x=15∣÷3⇒x=53x - 5 = 10 \quad | + 5 \quad \Rightarrow \quad 3x = 15 \quad | \div 3 \quad \Rightarrow \quad x = 5
    Cel jest zawsze ten sam: postać x=liczbax = \text{liczba}. Kolejność ruchów jest odwrotna do kolejności działań.
  2. 5x−3=2x+9∣−2x3x−3=9∣+33x=12∣÷3x=4\begin{aligned}5x - 3 &= 2x + 9 \quad | - 2x \\ 3x - 3 &= 9 \quad | + 3 \\ 3x &= 12 \quad | \div 3 \\ x &= 4\end{aligned}
  3. 2x−13+x=4∣⋅32x−1+3x=125x=13⇒x=135\begin{aligned}\frac{2x - 1}{3} + x &= 4 \quad | \cdot 3 \\ 2x - 1 + 3x &= 12 \\ 5x &= 13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{13}{5}\end{aligned}
    Zwróć uwagę: xx też został pomnożony przez 3. Pominięcie tego to najczęstszy błąd w tym typie zadań.
  4. 8−(2x−5)=38−2x+5=313−2x=3⇒x=5\begin{aligned}8 - (2x - 5) &= 3 \\ 8 - 2x + 5 &= 3 \\ 13 - 2x &= 3 \quad \Rightarrow \quad x = 5\end{aligned}
  5. x+1=x+1⇒0=0prawda: rozwiązaniem jestRx+1=x+2⇒0=1fałsz: rozwiązanˊ brak\begin{aligned}x + 1 &= x + 1 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0 \quad \quad \text{prawda: rozwiązaniem jest} \mathbb{R} \\ x + 1 &= x + 2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 1 \quad \quad \text{fałsz: rozwiązań brak}\end{aligned}
  6. Ojciec ma 3 razy więcej lat niż syn. Razem mają 48 lat. Syn: xx, ojciec: 3x3x. Warunek: x+3x=48x + 3x = 48, czyli x=12x = 12. Syn ma 12 lat, ojciec 36. Sprawdzenie: 12+36=4812 + 36 = 48.