Nierówności liniowe

To samo co równanie liniowe, tylko zamiast „równa się” pytamy „mniejsze czy większe”. Odpowiedzią nie jest jedna liczba, lecz przedział — cały kawałek osi.

Definicja

Nierównością liniową z niewiadomą

x

nazywamy nierówność dającą się zapisać w postaci

a x + b > 0 \quad (\ge, <, \le), \quad a, b \in \mathbb{R}

Rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb spełniających tę nierówność.

Definicja

Przekształcenia nierówności

a < b \quad \Leftrightarrow \quad a + c < b + c

a < b \quad \Leftrightarrow \quad a c < b c \quad

dla

c > 0

a < b \quad \Leftrightarrow \quad a c > b c \quad

dla

c < 0

Po ludzku

Dodawać i odejmować wolno bez konsekwencji. Ale przy mnożeniu i dzieleniu przez liczbę ujemną znak nierówności trzeba odwrócić.

Przykłady

$-1 \le 2x + 3 < 7 \quad | - 3$
$-4 \le 2x < 4 \quad | \div 2$
$-2 \le x < 2$ Odpowiedź: $x \in \langle-2; 2)$ .
$2(x + 3) > 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad 6 > 1$
Prawda niezależnie od $x$ , więc rozwiązaniem jest cały zbiór $\mathbb{R}$ .