Wzory skróconego mnożenia

Kwadratu nie wolno rozdzielić na składniki. Mnożąc nawias przez nawias, iloczyn $a b$ dostajesz dwa razy — i stąd bierze się środkowy wyraz.

Definicja

Twierdzenie (kwadrat sumy)

Dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

b

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

Definicja

Dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

b

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Po ludzku

Różnicę dwóch kwadratów zawsze da się rozbić na iloczyn: „różnica razy suma”. Sumy kwadratów

a^2 + b^2

rozłożyć się nie da — i o to pytają zadania z podchwytliwym znakiem.

Dowód: zwykłe mnożenie nawiasów.
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + a b + b a + b^2 = a^2 + 2 a b + b^2$
Drugi wzór nie jest osobny — to pierwszy dla $-b$ :
$(a - b)^2 = (a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2$
Dowód: wyrazy mieszane się znoszą.
$(a - b)(a + b) = a^2 + a b - b a - b^2 = a^2 - b^2$
$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3 \quad \text{dla }x \ne -3$
$x^2 + 10x + 25$ : skrajne to $x^2$ i $5^2$ , środkowy to $2 \cdot x \cdot 5$ . Zgadza się, więc
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$