Ciągi arytmetyczne i geometryczne — poziom rozszerzony

Lista liczb, w której każda ma swój numer.

Definicja

Ciąg liczbowy

Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartość dla argumentu

n

oznaczamy

a_n

i nazywamy $n$ -tym wyrazem; cały ciąg zapisujemy

(a_n)

Definicja

Ciąg

(a_n)

jest arytmetyczny, gdy istnieje liczba

r

taka, że dla każdego

n \ge 1

zachodzi

a_{n+1} - a_n = r

. Liczbę

r

nazywamy różnicą ciągu.

Po ludzku

Do każdego wyrazu dodajesz wciąż tę samą liczbę.

Definicja

Ciąg

(a_n)

o wyrazach różnych od zera jest geometryczny, gdy istnieje liczba

q \ne 0

taka, że dla każdego

n \ge 1

zachodzi

\frac{a_{n+1}}{a_n} = q

. Liczbę

q

nazywamy ilorazem ciągu.

Po ludzku

Każdy wyraz mnożysz przez wciąż tę samą liczbę.

Definicja

Szereg geometryczny o ilorazie

q

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

|q| < 1

Po ludzku

Kolejne wyrazy maleją tak szybko, że cała nieskończona suma zatrzymuje się na konkretnej liczbie.

Matura rozszerzona, maj 2024, zadanie 7 (0–4 pkt). Trzywyrazowy ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma jego wyrazów jest równa $105$ . Liczby $x$ , $y$ , $z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i szóstym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego.