Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Granice ciągów

Wyrazy ciągu podchodzą coraz bliżej jednej liczby i już się od niej nie oddalają.

Definicja

Ciąg zbieżny

Ciąg (an)(a_n) ma granicę gg, gdy dla dowolnie małego otoczenia liczby gg prawie wszystkie wyrazy ciągu do tego otoczenia należą. Piszemy lim⁡n→∞an=g\lim_{n \to \infty} a_n = g.

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2021, zadanie 5 (2 pkt). Oblicz granicę
    lim⁡n→∞(3n+2)2−(1−2n)2(2n−1)2\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 2)^2 - (1 - 2n)^2}{(2n - 1)^2}
    Wpisz cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego wyniku.
  2. Trzy przykłady, jeden schemat.
    lim⁡n→∞4n2−3n+22n2+5n−1=42=2\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 - 3n + 2}{2n^2 + 5n - 1} = \frac{4}{2} = 2
    lim⁡n→∞2n+1n2+3=0\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n^2 + 3} = 0
    lim⁡n→∞n3+1n2+1=+∞\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 1}{n^2 + 1} = +\infty
  3. Matura 2021, zadanie 5. Licznik rozwijamy:
    (3n+2)2−(1−2n)2=(9n2+12n+4)−(4n2−4n+1)(3n+2)^2 - (1-2n)^2 = (9n^2 + 12n + 4) - (4n^2 - 4n + 1)
    =5n2+16n+3= 5n^2 + 16n + 3 Mianownik: (2n−1)2=4n2−4n+1(2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1. Stopnie są równe, więc granica to iloraz współczynników wiodących: 5/4=1,255 / 4 = 1\text{,25}.
  4. Tak wygląda zadanie z arkusza.
    lim⁡n→∞(11n3+6n+56n3+1−2n2+2n+125n2−4)\lim_{n \to \infty} \left(\frac{11n^3 + 6n + 5}{6n^3 + 1} - \frac{2n^2 + 2n + 1}{25n^2 - 4}\right)
    Tu oba ułamki mają granice SKOŃCZONE (11/611 / 6 i 2/252 / 25), więc twierdzenie o różnicy wolno zastosować.
  5. Schemat. Jeśli lim⁡(pn2+4n)3/(5n6−4)=−8/5\lim (p n^2 + 4n)^3 / (5n^6 - 4) = -8 / 5, to porównujemy współczynniki wiodące: p3n65n6=p35=−85\frac{p^3 n^6}{5 n^6} = \frac{p^3}{5} = -\frac{8}{5} stąd p3=−8p^3 = -8, czyli p=−2p = -2.