Przekształcenia i dowody algebraiczne

Matura rozszerzona, maj 2025, zadanie 2 (0–3 pkt). Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby $a$ i każdej dodatniej liczby $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2} a$, prawdziwa jest nierówność $(a + 2b)^3 > 8a^2 b + 16 a b^2$

Cztery kroki. 1. Przenieś wszystko na jedną stronę. 2. Sprowadź do wspólnego mianownika, jeśli są ułamki. 3. Rozłóż na czynniki tak, żeby był widoczny kwadrat. 4. Powołaj się na to, że kwadrat jest nieujemny.

$a^2 + b^2 \ge 2 a b$. Przenosimy wszystko na lewo: $a^2 + b^2 - 2 a b \ge 0$ Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia: $(a - b)^2 \ge 0$ Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $a$ i $b$. $\blacksquare$

Dzieli się przez 3. Trzy kolejne liczby: $n$, $n + 1$, $n + 2$. $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$ Iloczyn trójki i liczby całkowitej, więc suma dzieli się przez $3$. $\blacksquare$