Wielomiany — narzędzia rozkładu

Żeby sprawdzić, czy $(x - a)$ dzieli wielomian, nie trzeba dzielić — wystarczy podstawić $a$ .

Definicja

Twierdzenie Bézouta

Reszta z dzielenia

W(x)

przez

(x - a)

jest równa

W(a)

. W szczególności

(x - a) | W(x)

wtedy i tylko wtedy, gdy

W(a) = 0

Definicja

Jeżeli ułamek nieskracalny

p / q

jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach CAŁKOWITYCH, to

p

dzieli wyraz wolny, a

q

— współczynnik wiodący.

Po ludzku

Kandydatów na pierwiastek wymierny jest skończenie wielu i wypisuje się ich z dwóch skrajnych współczynników.

Matura rozszerzona, maj 2021, zadanie 3 (1 pkt). Wielomian $W(x) = x^4 + 81$ jest podzielny przez A. $x - 3$ B. $x + 9$ C.
$x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9$
D.
$x^2 + 3 \sqrt{2} x - 9$
Dzielimy $x^3 - 4x^2 + x + 6$ przez $(x - 3)$ . Współczynniki: $1, -4, 1, 6$ . Mnożymy przez $3$ i dodajemy:
$1; \quad -4 + 3 = -1; \quad 1 + (-3) = -2; \quad 6 + (-6) = 0$
Iloraz: $x^2 - x - 2$ , reszta $0$ .
Chwyt, który rozwiązuje rozgrzewkę.
$x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2 - 18x^2$
$= (x^2 + 9)^2 - (3 \sqrt{2} x)^2$
$= (x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9)(x^2 + 3 \sqrt{2} x + 9)$
Schemat. Z $a^2 + 2a = 4b^2 + 4b$ przenosimy wszystko na lewo:
$a^2 - 4b^2 + 2a - 4b = 0$
$(a - 2b)(a + 2b) + 2(a - 2b) = 0$
$(a - 2b)(a + 2b + 2) = 0$