Styczna do okręgu i kąty w okręgu

Prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. W tym punkcie stoi prostopadle do promienia.

Definicja

Styczna do okręgu

Jeżeli prosta jest styczna do okręgu o środku

O

w punkcie

T

, to

O T \perp

ta prosta. Odwrotnie: prosta prostopadła do promienia w jego końcu na okręgu jest styczna.

Definicja

Kąt wpisany oparty na danym łuku jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Po ludzku

Kąt oparty na tym samym łuku jest zawsze dwa razy mniejszy, gdy jego wierzchołek leży na okręgu, a nie w środku.

Matura rozszerzona, maj 2017, zadanie 3 (1 pkt). Odcinek $C D$ jest wysokością trójkąta $A B C$ , w którym $|A D| = |C D| = \frac{1}{2} |B C|$ . Okrąg o środku $C$ i promieniu $C D$ jest styczny do prostej $A B$ i przecina boki $A C$ i $B C$ w punktach $K$ i $L$ . Zaznaczony kąt $\alpha$ wpisany w ten okrąg jest równy A. $37\text{,5} ^\circ$ B. $45 ^\circ$ C. $52\text{,5} ^\circ$ D. $60 ^\circ$
Matura 2017, zadanie 3. Z $|A D| = |C D|$ i kąta prostego przy $D$ : trójkąt $A C D$ jest równoramienny prostokątny, więc $|\angle A C D| = 45 ^\circ$ . Z $|C D| = \frac{1}{2} |B C|$ : w trójkącie $B D C$ mamy $\sin(\angle D B C) = \frac{1}{2}$ , czyli $|\angle D B C| = 30 ^\circ$ , a stąd $|\angle D C B| = 60 ^\circ$ . Kąt środkowy $K C L$ to cały kąt $A C B$ : $45 ^\circ + 60 ^\circ = 105 ^\circ$ .