Styczna do okręgu i kąty w okręgu

Matura rozszerzona, maj 2017, zadanie 3 (1 pkt). Odcinek $C D$ jest wysokością trójkąta $A B C$, w którym $|A D| = |C D| = \frac{1}{2} |B C|$. Okrąg o środku $C$ i promieniu $C D$ jest styczny do prostej $A B$ i przecina boki $A C$ i $B C$ w punktach $K$ i $L$. Zaznaczony kąt $\alpha$ wpisany w ten okrąg jest równy A. $37\text{,5} ^\circ$ B. $45 ^\circ$ C. $52\text{,5} ^\circ$ D. $60 ^\circ$

Matura 2017, zadanie 3. Z $|A D| = |C D|$ i kąta prostego przy $D$: trójkąt $A C D$ jest równoramienny prostokątny, więc $|\angle A C D| = 45 ^\circ$. Z $|C D| = \frac{1}{2} |B C|$: w trójkącie $B D C$ mamy $\sin(\angle D B C) = \frac{1}{2}$, czyli $|\angle D B C| = 30 ^\circ$, a stąd $|\angle D C B| = 60 ^\circ$. Kąt środkowy $K C L$ to cały kąt $A C B$: $45 ^\circ + 60 ^\circ = 105 ^\circ$.