Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Wszystkie cztery wierzchołki leżą na jednym okręgu. Rozpoznaje się to po kątach, nie po bokach.

Definicja

Czworokąt wpisany w okrąg

Czworokąt wypukły da się wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe

180 ^\circ

\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180 ^\circ

Definicja

W czworokąt wypukły da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

|A B| + |C D| = |B C| + |D A|

Po ludzku

Wszystkie cztery boki są styczne do jednego okręgu. Rozpoznaje się to po bokach, nie po kątach.

Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 8 (4 pkt). Czworokąt $A B C D$ , w którym $|B C| = 4$ i $|C D| = 5$ , jest opisany na okręgu. Przekątna $A C$ tworzy z bokiem $B C$ kąt o mierze $60 ^\circ$ , a z bokiem $A B$ — kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$ . Oblicz obwód czworokąta $A B C D$ .
Równoległobok. W równoległoboku kąty przeciwległe są RÓWNE, a w czworokącie wpisanym sumują się do $180 ^\circ$ . Skoro $\alpha = \gamma$ oraz $\alpha + \gamma = 180 ^\circ$ , to $\alpha = 90 ^\circ$ .
Matura 2023, zadanie 8. W trójkącie $A B C$ znamy $|B C| = 4$ , kąt przy $C$ równy $60 ^\circ$ i $\sin |\angle B A C| = \frac{1}{4}$ . Z twierdzenia sinusów
$\frac{|B C|}{\sin |\angle B A C|} = \frac{|A B|}{\sin |\angle B C A|}$
$\frac{4}{1 / 4} = \frac{|A B|}{\sin 60 ^\circ} \quad \Rightarrow \quad |A B| = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}$