Liczby naturalne i całkowite

Liczba $d$ jest dzielnikiem liczby $n$ , gdy $n$ dzieli się przez $d$ bez reszty. Wtedy $n$ jest wielokrotnością liczby $d$ .

Definicja

d | n \quad \Leftrightarrow \quad n = d \cdot k \quad \text{dla pewnej liczby naturalnej }k

Definicja

pierwsze:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots

Po ludzku

Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. Liczba złożona ma jeszcze jakiś inny dzielnik.

Definicja

\text{NWD}(12, 18) = 6 \quad \quad \text{NWW}(12, 18) = 36

Po ludzku

NWD to największa liczba, przez którą dzielą się obie liczby. NWW to najmniejsza liczba, która dzieli się przez obie.

Definicja

nawiasy

\to

potęgi

\to

\cdot

:

\to

+

-

Po ludzku

Najpierw nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego rzędu liczymy od lewej do prawej.

Przykłady

Dzielniki liczby 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ Wielokrotności liczby 12:
$12, 24, 36, 48, \dots$
Jak wypisać wszystkie dzielniki i żadnego nie zgubić. Idziemy parami od najmniejszej liczby: $1 \cdot 12$ , $2 \cdot 6$ , $3 \cdot 4$ . Następna próba to $4 \cdot 3$ , czyli para, którą już mamy — i to jest znak, że koniec. Dzielniki 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$
Czy $2\,574$ dzieli się przez 9? Suma cyfr: $2 + 5 + 7 + 4 = 18$ . Osiemnaście dzieli się przez 9, więc tak.
Rozkład na czynniki pierwsze.
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
Jak liczyć z rozkładu.
$12 = 2^2 \cdot 3 \quad \quad 18 = 2 \cdot 3^2$
NWD — czynniki wspólne, w niższej potędze: $2 \cdot 3 = 6$ NWW — wszystkie czynniki, w wyższej potędze: $2^2 \cdot 3^2 = 36$
$(-3) \cdot (-4) = 12 \quad \quad (-20) : 5 = -4 \quad \quad (-2)^3 = -8 \quad \quad (-2)^4 = 16$
$2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14 \quad \quad (2 + 3) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$
$20 - 12 : 4 + 2^2 = 20 - 3 + 4 = 21$
Punkty $P = -4$ i $R = 8$ dzielą odcinek na 6 równych części. Jedna część: $(8 - (-4)) : 6 = 12 : 6 = 2$ . Punkt trzeci od $P$ : $-4 + 3 \cdot 2 = 2$ .