Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Potęgi i pierwiastki

Wykładnik mówi, ile razy podstawa pojawia się jako czynnik. 252^5 to pięć dwójek pomnożonych przez siebie.

Definicja
Dla liczby rzeczywistej aa i liczby naturalnej n≥1n \ge 1:
an=a⋅a⋅⋯⋅a⏟n czynnikoˊwa^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n\text{ czynników}}
Liczbę aa nazywamy podstawą potęgi, a nn — jej wykładnikiem.

Definicja (rozszerzenie na wykładniki całkowite)

Dla a≠0a \ne 0 i naturalnego nn przyjmujemy:
a0=1a−n=1ana^0 = 1 \quad \quad \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Po ludzku

Minus w wykładniku nie robi liczby ujemnej — każe ją odwrócić. 2−32^{-3} to nie −8-8, tylko 1/81 / 8.
Definicja
Dla a≥0a \ge 0 pierwiastkiem kwadratowym z aa nazywamy tę jedyną liczbę nieujemną bb, dla której b2=ab^2 = a. Piszemy b=ab = \sqrt{a}.
a=b⇔b2=a oraz b≥0\sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a \text{ oraz } b \ge 0

Po ludzku

Pytanie „ile to 49\sqrt{49}” znaczy: jaką liczbę trzeba podnieść do kwadratu, żeby wyszło 49. Odpowiedź to 7 — i tylko 7, nie ±7\pm 7.

Definicja (pierwiastek stopnia nn)

Dla nn parzystego i a≥0a \ge 0: an\sqrt[n]{a} to jedyna liczba nieujemna bb taka, że bn=ab^n = a. Dla nn nieparzystego i dowolnego a∈Ra \in \mathbb{R}: an\sqrt[n]{a} to jedyna liczba bb taka, że bn=ab^n = a.

Po ludzku

Przy stopniu nieparzystym wolno pierwiastkować liczby ujemne: −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, bo (−2)3=−8(-2)^3 = -8. Przy parzystym — nie wolno, bo żadna liczba podniesiona do parzystej potęgi nie da wyniku ujemnego.

Definicja (potęga o wykładniku wymiernym)

Dla a>0a > 0, całkowitego mm i naturalnego n≥2n \ge 2:
am/n=amna^{m / n} = \sqrt[n]{a^m}

Po ludzku

Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, licznik — potęga pod nim. a2/3a^{2 / 3} czytamy: „pierwiastek trzeciego stopnia z aa do kwadratu”.

Przykłady

  1. 25=2⋅2⋅2⋅2⋅2=32103=1000(12)4=1162^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \quad \quad 10^3 = 1000 \quad \quad \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}
  2. Nawias obejmuje każdy czynnik.
    (2x2y)3=23⋅x6⋅y3=8x6y3(2 x^2 y)^3 = 2^3 \cdot x^6 \cdot y^3 = 8 x^6 y^3
    Najczęstszy błąd to 2x6y32 x^6 y^3 — zapomniana dwójka.
  3. 273=3−643=−4164=2−164 nie istnieje\sqrt[3]{27} = 3 \quad \quad \sqrt[3]{-64} = -4 \quad \quad \sqrt[4]{16} = 2 \quad \quad \sqrt[4]{-16} \text{ nie istnieje}
  4. 72=36⋅2=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}
    Rozkład 72=9⋅8=38\sqrt{72} = \sqrt{9 \cdot 8} = 3 \sqrt{8} też jest poprawny, ale niedokończony: w 8\sqrt{8} wciąż siedzi kwadrat.
  5. Dodawanie pierwiastków przez wyłączanie.
    12+27=23+33=53\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}
    Dodać można dopiero wtedy, gdy pod pierwiastkiem stoi ta sama liczba. Wtedy 3\sqrt{3} zachowuje się jak zwykła niewiadoma: 2x+3x=5x2 x + 3 x = 5 x.
  6. a=a1/2a3=a1/3a23=a2/3\sqrt{a} = a^{1 / 2} \quad \quad \sqrt[3]{a} = a^{1 / 3} \quad \quad \sqrt[3]{a^2} = a^{2 / 3}
  7. 32=32⋅22=322\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}