Potęgi i pierwiastki

Wykładnik mówi, ile razy podstawa pojawia się jako czynnik. 2^5 to pięć dwójek pomnożonych przez siebie.

Dla liczby rzeczywistej

a

i liczby naturalnej

n \ge 1

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{czynników}}

Liczbę

a

nazywamy podstawą potęgi, a

n

— jej wykładnikiem.

Definicja (rozszerzenie na wykładniki całkowite)

Dla

a \ne 0

i naturalnego

n

przyjmujemy:

a^0 = 1 \quad \quad \quad a^{-n} = 1/a^n

Po ludzku

Minus w wykładniku nie robi liczby ujemnej — każe ją odwrócić.

2^{-3}

to nie

-8

, tylko

1 / 8

Dla

a \ge 0

pierwiastkiem kwadratowym z

a

nazywamy tę jedyną liczbę nieujemną

b

, dla której

b^2 = a

. Piszemy

b = \sqrt{a}

\sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a \text{ oraz } b \ge 0

Po ludzku

Pytanie „ile to

\sqrt{49}

" znaczy: jaką liczbę trzeba podnieść do kwadratu, żeby wyszło 49. Odpowiedź to 7 — i tylko 7, nie

\pm 7

Dla

n

parzystego i

a \ge 0

\sqrt[n]{a}

to jedyna liczba nieujemna

b

taka, że

b^n = a

. Dla

n

nieparzystego i dowolnego

a \in \mathbb{R}

\sqrt[n]{a}

to jedyna liczba

b

taka, że

b^n = a

Po ludzku

Przy stopniu nieparzystym wolno pierwiastkować liczby ujemne:

\sqrt[3]{-8} = -2

, bo

(-2)^3 = -8

. Przy parzystym — nie wolno, bo żadna liczba podniesiona do parzystej potęgi nie da wyniku ujemnego.

Dla

a > 0

, całkowitego

m

i naturalnego

n \ge 2

a^{m / n} = \sqrt[n]{a^m}

Po ludzku

Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, licznik — potęga pod nim.

a^{2 / 3}

czytamy: „pierwiastek trzeciego stopnia z

a

do kwadratu".

Lekcja próbna nic nie kosztuje i kończy się pisemnym raportem. Dopiero po nim decydujecie, czy idziemy dalej.