Równania kwadratowe

Kwadratowe znaczy: najwyższa potęga to druga, i naprawdę tam jest. Warunek $a \ne 0$ pilnuje właśnie tego — bez niego zostałoby równanie liniowe.

Definicja

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie dające się zapisać w postaci

a x^2 + b x + c = 0, \quad \text{gdzie }a \ne 0

Wyrażenie

a x^2 + b x + c

nazywamy trójmianem kwadratowym.

Definicja

Twierdzenie (wzory na pierwiastki)

Dla równania

a x^2 + b x + c = 0

a \ne 0

i wyróżnikiem

\Delta = b^2 - 4 a c

\Delta > 0

: dwa pierwiastki

x_{1, 2} = (-b \pm \sqrt{\Delta}) / (2a)

\Delta = 0

: jeden pierwiastek

x_0 = -b / (2a)

\Delta < 0

: brak pierwiastków rzeczywistych

Po ludzku

Delta to jedna liczba, która z góry mówi, ile będzie rozwiązań. Dopiero potem liczymy jakie. Dlatego zawsze zaczynamy od niej.

$x^2 - 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 3$
$\begin{aligned}a x^2 + b x + c &= 0 \quad | \cdot 4a \\ 4a^2 x^2 + 4 a b x + 4 a c &= 0 \\ (2 a x + b)^2 - b^2 + 4 a c &= 0 \\ (2 a x + b)^2 &= b^2 - 4 a c = \Delta\end{aligned}$
$x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \quad a = 1, b = -5, c = 6$
$\begin{aligned}\Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \\ \sqrt{\Delta} &= 1\end{aligned}$
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \quad \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$
$x^2 - 5x + 6$ ma pierwiastki 2 i 3, więc
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$