Nierówności kwadratowe

To samo co równanie kwadratowe, tylko zamiast znaku $=$ stoi nierówność. Odpowiedzią nie są pojedyncze liczby, lecz przedziały — bo warunek spełnia od razu cały kawałek osi.

Definicja

Nierównością kwadratową nazywamy nierówność dającą się zapisać w jednej z postaci

a x^2 + b x + c > 0 \quad (\ge, <, \le), \quad \text{gdzie }a \ne 0

Jej rozwiązaniem jest zbiór wszystkich

x \in \mathbb{R}

spełniających tę nierówność.

Definicja

Twierdzenie o znaku trójmianu

Dla

\Delta > 0

trójmian ma znak przeciwny do

a

między pierwiastkami, a zgodny z

a

na zewnątrz.

Po ludzku

Znak trójmianu zmienia się tylko w miejscach zerowych — między nimi jest stały. Dlatego wystarczy rysunek.

Przykłady

$-x^2 + 4 > 0$ Miejsca zerowe: $x = \pm 2$ . Ramiona w dół. Nad osią jest wewnątrz, więc $x \in (-2, 2)$ .
$x^2 + x + 3 > 0$ ma $\Delta = -11 < 0$ i ramiona w górę, więc parabola leży w całości nad osią. Rozwiązaniem jest $\mathbb{R}$ : nierówność jest spełniona dla każdego $x$ . Ta sama nierówność ze znakiem $< 0$ nie miałaby żadnego rozwiązania.