Układy równań

Klamra znaczy „i”, nie „lub”. Szukamy pary liczb, która spełnia oba równania naraz — jedno nie wystarczy.

Definicja

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję

\begin{cases}a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2\end{cases}

Jego rozwiązaniem jest każda para

(x, y)

spełniająca oba równania.

Definicja

Rodzaje układów

Układ nazywamy oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie, sprzecznym, gdy nie ma żadnego, i nieoznaczonym, gdy ma ich nieskończenie wiele.

Po ludzku

Dwie proste albo się przecinają, albo są równoległe, albo pokrywają — i to wyczerpuje wszystkie możliwości. Stąd dokładnie trzy nazwy.

Przykłady

$\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x - y = 2\end{cases}$
Z pierwszego: $y = 10 - x$ . Wstawiamy do drugiego:
$2x - (10 - x) = 2 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4, \quad y = 6$
$\begin{cases}3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0\end{cases}$
Współczynniki przy $y$ są już przeciwne. Dodajemy stronami:
$4x = 16 \Rightarrow x = 4, \quad \text{a stąd} \quad 4 - 2y = 0 \Rightarrow y = 2$
W układzie $\begin{cases}y = 2x + 1 \\ y = 2x + 5\end{cases}$ proste mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne, więc są równoległe. Rachunkowo wychodzi $1 = 5$ — sprzeczność, układ nie ma rozwiązań.
Za 3 zeszyty i 2 długopisy zapłacono 26 zł, a za 1 zeszyt i 4 długopisy 22 zł. $z$ — cena zeszytu, $d$ — cena długopisu:
$\begin{cases}3z + 2d = 26 \\ z + 4d = 22\end{cases}$
Z drugiego $z = 22 - 4d$ , podstawiamy: $66 - 12d + 2d = 26$ , czyli $d = 4$ i $z = 6$ .