Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Wielomiany. Działania i rozkład na czynniki

Wielomian to wyrażenie zbudowane wyłącznie z całkowitych, nieujemnych potęg zmiennej, pomnożonych przez liczby i pododawanych. Żadnych pierwiastków ze zmiennej, żadnej zmiennej w mianowniku.

Definicja
Wielomianem zmiennej xx nazywamy wyrażenie postaci W(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 gdzie an,…,a0a_n, \dots, a_0 są liczbami rzeczywistymi (współczynnikami), a nn — liczbą naturalną. Jeśli an≠0a_n \ne 0, to nn nazywamy stopniem wielomianu.
Definicja

Twierdzenie o iloczynie zerowym

Dla dowolnych wyrażeń AA, BB:
A⋅B=0⇔A=0lubB=0A \cdot B = 0 \quad \Leftrightarrow \quad A = 0 \quad \text{lub} \quad B = 0

Po ludzku

Iloczyn wychodzi zero tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Dlatego rozkład rozbija jedno trudne równanie na kilka łatwych.

Przykłady

  1. Warunek an≠0a_n \ne 0 w definicji stopnia nie jest formalnością: w wielomianie 0⋅x5+3x2−10 \cdot x^5 + 3x^2 - 1 piątki po prostu nie ma, więc stopień wynosi 2, a nie 5.
  2. (x+2)(x2−3x+1)=x3−x2−5x+2(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - x^2 - 5x + 2
  3. x3+2x2−4x−8=x2(x+2)−4(x+2)=(x+2)(x2−4)=(x+2)(x−2)(x+2)=(x+2)2(x−2)\begin{aligned}x^3 + 2x^2 - 4x - 8 &= x^2(x+2) - 4(x+2) = (x+2)(x^2-4) \\ &= (x+2)(x-2)(x+2) = (x+2)^2 (x-2)\end{aligned}
  4. (x−2)(x2−3)=0⇒x−2=0 lub x2−3=0(x-2)(x^2-3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 0 \text{ lub } x^2 - 3 = 0
    czyli x=2x = 2, x=3x = \sqrt{3} albo x=−3x = -\sqrt{3}.