Ułamki algebraiczne

To po prostu ułamek, w którym pod kreską stoi litera. A skoro dzielić przez zero nie wolno, część liczb trzeba z góry wykluczyć.

Definicja

Ułamkiem algebraicznym nazywamy wyrażenie postaci

P(x) / Q(x)

, gdzie

P

Q

są wyrażeniami algebraicznymi, a

Q

zawiera zmienną.

\frac{x + 1}{x - 3} \quad \quad \frac{x^2 - 4}{x + 2}

Definicja

Dziedzina wyrażenia

D = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \ne 0\}

Po ludzku

Lista liczb, które wolno podstawić — bez tych, które zerują mianownik.

Definicja

Zasada skracania

\frac{a c}{b c} = \frac{a}{b} \quad (c \ne 0) \quad \quad \text{ale} \quad \quad \frac{a + c}{b + c} \ne \frac{a}{b}

Sprawdzenie:

(2 + 4) / (2 + 2) = 1\text{,5}

, a

4 / 2 = 2

Po ludzku

Skreślasz to, co jest pomnożone, nigdy tego, co dodane. Dlatego pierwszy ruch to zawsze rozkład na czynniki — dopóki licznik i mianownik są sumami, nie ma czego skracać.

Przykłady

$\frac{x+1}{x} \cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{2x(x+1)}{x(x+1)} = 2$
dla $x \ne 0$ oraz $x \ne -1$ . Skracamy dopiero po zapisaniu iloczynu, nigdy w trakcie.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$
dla $x \ne 0$ oraz $x \ne -1$ .