Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Prostopadłość w przestrzeni i kąty dwuścienne

Prostopadła do KAŻDEJ prostej płaszczyzny — a wystarczy sprawdzić dwie przecinające się.

Definicja

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Prosta kk jest prostopadła do płaszczyzny π\pi, gdy jest prostopadła do każdej prostej leżącej w π\pi. Kryterium: wystarczy, że kk jest prostopadła do DWÓCH przecinających się prostych płaszczyzny π\pi.
Definicja

Twierdzenie o trzech prostopadłych

Niech AA leży poza płaszczyzną π\pi, a A′A' będzie jego rzutem prostokątnym na π\pi. Prosta l⊂πl \subset \pi jest prostopadła do APA P wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do A′PA' P.

Po ludzku

Jeśli rzut odcinka jest prostopadły do prostej w płaszczyźnie, to sam odcinek też — i odwrotnie.
Definicja

Miara liniowa kąta dwuściennego

Kąt dwuścienny o krawędzi kk ma miarę równą kątowi między półprostymi wychodzącymi z punktu P∈kP \in k, leżącymi w obu ścianach i prostopadłymi do kk.

Po ludzku

Z punktu na wspólnej krawędzi prowadzimy w każdej ścianie półprostą PROSTOPADŁĄ do krawędzi. Kąt między nimi to szukany kąt dwuścienny.

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 7 (4 pkt). Dany jest sześcian ABCDEFGHA B C D E F G H o krawędzi długości 66. Punkt SS jest punktem przecięcia przekątnych AHA H i DED E ściany bocznej ADHEA D H E. Oblicz wysokość trójkąta SBHS B H poprowadzoną z punktu SS na bok BHB H tego trójkąta.
  2. Matura 2023, zadanie 7. Ustawmy A=(0,0,0)A = (0,0,0), B=(6,0,0)B = (6,0,0), D=(0,6,0)D = (0,6,0), E=(0,0,6)E = (0,0,6), H=(0,6,6)H = (0,6,6). Ściana ADHEA D H E leży w płaszczyźnie x=0x = 0, więc S=(0,3,3)S = (0, 3, 3). ∣BH∣=∣(−6,6,6)∣=63|B H| = |(-6, 6, 6)| = 6 \sqrt{3}, a pole trójkąta SBHS B H wynosi 929 \sqrt{2}.