Równania i nierówności trygonometryczne

Dwie serie: kąt „podstawowy” i jego odbicie względem osi pionowej — bo sinus przyjmuje każdą wartość dwa razy na okres.

Definicja

Rozwiązanie równania $\sin x = a$

Dla

|a| \le 1

x = \alpha + 2 k \pi \quad \text{albo} \quad x = \pi - \alpha + 2 k \pi

gdzie

\sin \alpha = a

, a

k

jest liczbą całkowitą.

Matura rozszerzona, maj 2021, zadanie 12 (5 pkt). Rozwiąż równanie $\cos 2x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$ w przedziale $\langle0; \pi\rangle$ .
Na liczbach. $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ w przedziale $\langle0; 2\pi\rangle$ . $2x = -\frac{\pi}{6} + 2k \pi$ albo $2x = \frac{7\pi}{6} + 2k \pi$ , więc
$x = -\frac{\pi}{12} + k \pi \quad \text{albo} \quad x = \frac{7\pi}{12} + k \pi$
W $\langle0; 2\pi\rangle$ : $x = \frac{11\pi}{12}$ , $x = \frac{23\pi}{12}$ z pierwszej serii oraz $x = \frac{7\pi}{12}$ , $x = \frac{19\pi}{12}$ z drugiej.
Matura rozszerzona, czerwiec 2020, zadanie 9. $3 \cos 2x + 10 \cos^2 x = 24 \sin x - 3$ dla $x \in \langle0; 2\pi\rangle$ . W równaniu jest sinus po prawej, więc sprowadzamy wszystko do sinusa: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ , $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ .
$3 - 6 \sin^2 x + 10 - 10 \sin^2 x = 24 \sin x - 3$
$16 \sin^2 x + 24 \sin x - 16 = 0, \quad 2t^2 + 3t - 2 = 0$
Matura 2021, zadanie 12. Lewa strona rozkłada się na czynniki:
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$
Przenosimy wszystko na lewo i wyłączamy przed nawias:
$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - \sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 0$
$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$