Równania i nierówności trygonometryczne

Dwie serie: kąt „podstawowy" i jego odbicie względem osi pionowej — bo sinus przyjmuje każdą wartość dwa razy na okres.

Rozwiązanie równania $sin x = a$

Dla

|a| \le 1

x = \alpha + 2 k \pi \quad \text{albo} \quad x = \pi - \alpha + 2 k \pi

gdzie

\sin \alpha = a

, a

k

jest liczbą całkowitą.

Matura rozszerzona, maj 2021, zadanie 12 (5 pkt). Rozwiąż równanie

\cos 2x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)

w przedziale

\langle0; \pi\rangle

Na liczbach.

\sin 2x = -\frac{1}{2}

w przedziale

\langle0; 2\pi\rangle

2x = -\frac{\pi}{6} + 2k \pi

albo

2x = \frac{7\pi}{6} + 2k \pi

, więc

x = -\frac{\pi}{12} + k \pi \quad \text{albo} \quad x = \frac{7\pi}{12} + k \pi

\langle0; 2\pi\rangle

x = \frac{11\pi}{12}

x = \frac{23\pi}{12}

z pierwszej serii oraz

x = \frac{7\pi}{12}

x = \frac{19\pi}{12}

z drugiej.

Matura rozszerzona, maj 2020, zadanie 9.

3 \cos 2x + 10 \cos^2 x = 24 \sin x - 3

dla

x \in \langle0; 2\pi\rangle

. W równaniu jest sinus po prawej, więc sprowadzamy wszystko do sinusa:

\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x

3 - 6 \sin^2 x + 10 - 10 \sin^2 x = 24 \sin x - 3

16 \sin^2 x + 24 \sin x - 16 = 0, \quad 2t^2 + 3t - 2 = 0

Matura 2021, zadanie 12. Lewa strona rozkłada się na czynniki:

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

Przenosimy wszystko na lewo i wyłączamy przed nawias:

(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - \sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 0

(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0

Lekcja próbna nic nie kosztuje i kończy się pisemnym raportem. Dopiero po nim decydujecie, czy idziemy dalej.