Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Wzory na sumę kątów i kąt podwojony

Szczególny przypadek wzorów na sumę, w którym oba kąty są takie same. Nie trzeba ich pamiętać osobno.

Definicja

Wzory na kąt podwojony

Wstawiając β=α\beta = \alpha do wzorów na sumę, dostajemy
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 6 (3 pkt). Rozwiąż równanie
    4sin⁡(4x)cos⁡(6x)=2sin⁡(10x)+14 \sin(4x) \cos(6x) = 2 \sin(10x) + 1
  2. Rozbicie na liczbach.
    sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75 ^\circ = \sin 45 ^\circ \cos 30 ^\circ + \cos 45 ^\circ \sin 30 ^\circ
    =22⋅32+22⋅12=6+24= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
  3. To samo równanie, dwie drogi.
    cos⁡2x+3cos⁡x=−2\cos 2x + 3 \cos x = -2
    Dobrze: cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 daje 2cos⁡2x+3cos⁡x+1=02 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0 — równanie kwadratowe o niewiadomej cos⁡x\cos x. Źle: cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x daje równanie z sinusem i cosinusem naraz, którego nie da się rozwiązać podstawieniem.
  4. Matura 2023, zadanie 6.
    4sin⁡(4x)cos⁡(6x)=2⋅2sin⁡(4x)cos⁡(6x)4 \sin(4x) \cos(6x) = 2 \cdot 2 \sin(4x) \cos(6x)
    =2[sin⁡(4x+6x)+sin⁡(4x−6x)]=2sin⁡(10x)−2sin⁡(2x)= 2 [\sin(4x + 6x) + \sin(4x - 6x)] = 2 \sin(10x) - 2 \sin(2x)
    Równanie przechodzi w 2sin⁡(10x)−2sin⁡(2x)=2sin⁡(10x)+12 \sin(10x) - 2 \sin(2x) = 2 \sin(10x) + 1, czyli
    sin⁡(2x)=−12\sin(2x) = -\frac{1}{2}