Układy równań z równaniem kwadratowym

Przykłady

1. 1.
   Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 13 (6 pkt). Prosta $l: x - y - 2 = 0$ przecina parabolę $y = 4x^2 - 7x + 1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $A B$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na tym okręgu nad prostą $l$, a kąt $B A C$ jest ostry i $\text{tg} \alpha = \frac{1}{3}$. Oblicz współrzędne punktu $C$.
2. 2.
   Prosta i parabola.

   $\begin{cases}y = x^2 \\ y = x + 2\end{cases}$

   Porównujemy prawe strony:

   $x^2 = x + 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 2 = 0$

   $\Delta = 9, \quad x = -1 \text{ lub } x = 2$

   Wracamy: $y = x + 2$, więc $y = 1$ albo $y = 4$.
3. 3.
   Matura 2023, zadanie 13 — pierwszy krok. Z prostej: $y = x - 2$. Podstawiamy do paraboli:

   $x - 2 = 4x^2 - 7x + 1$

   $4x^2 - 8x + 3 = 0, \quad \Delta = 64 - 48 = 16$

   $x = \frac{8 \pm 4}{8} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \text{ lub } x = \frac{3}{2}$
4. 4.
   Typowe zadanie z arkusza. Równanie $|x - 5| = m$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie dokładnie wtedy, gdy $0 < m < 5$