Układy równań z równaniem kwadratowym

Jedno równanie jest liniowe, drugie kwadratowe. Z liniowego wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego.

Układ z równaniem kwadratowym

+ Z równania LINIOWEGO wyznacz

y

(albo

x

). + Podstaw do równania kwadratowego. + Rozwiąż powstałe równanie jednej niewiadomej. + Wróć do równania liniowego po drugą współrzędną.

Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 13 (6 pkt). Prosta

l: x - y - 2 = 0

przecina parabolę

y = 4x^2 - 7x + 1

w punktach

A

oraz

B

. Odcinek

A B

jest średnicą okręgu

\mathcal{O}

. Punkt

C

leży na tym okręgu nad prostą

l

, a kąt

B A C

jest ostry i

\text{tg} \alpha = \frac{1}{3}

. Oblicz współrzędne punktu

C

Prosta i parabola.

\begin{cases}y = x^2 \\ y = x + 2\end{cases}

Porównujemy prawe strony:

x^2 = x + 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 2 = 0

\Delta = 9, \quad x = -1 \text{ lub } x = 2

Wracamy:

y = x + 2

, więc

y = 1

albo

y = 4

Matura 2023, zadanie 13 — pierwszy krok. Z prostej:

y = x - 2

. Podstawiamy do paraboli:

x - 2 = 4x^2 - 7x + 1

4x^2 - 8x + 3 = 0, \quad \Delta = 64 - 48 = 16

x = \frac{8 \pm 4}{8} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \text{ lub } x = \frac{3}{2}

Typowe zadanie z arkusza. Równanie

|x - 5| = m

ma dwa różne rozwiązania dodatnie dokładnie wtedy, gdy

0 < m < 5

Lekcja próbna nic nie kosztuje i kończy się pisemnym raportem. Dopiero po nim decydujecie, czy idziemy dalej.