Wzory redukcyjne i okresowość

Matura rozszerzona, maj 2019, zadanie 2 (1 pkt). Liczba $\cos^{2} 105 ^\circ - \sin^{2} 105 ^\circ$ jest równa A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $-\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cztery przykłady, jeden schemat. $\sin(\pi - \alpha)$: kąt w II ćwiartce, sinus dodatni, funkcja zostaje $\to \sin \alpha$ $\cos(\pi - \alpha)$: kąt w II ćwiartce, cosinus ujemny $\to -\cos \alpha$ $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$: II ćwiartka, sinus dodatni, funkcja się zmienia $\to \cos \alpha$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$: II ćwiartka, cosinus ujemny, funkcja się zmienia $\to -\sin \alpha$

Na liczbach. $\sin 1230 ^\circ = \sin(1230 ^\circ - 3 \cdot 360 ^\circ) = \sin 150 ^\circ$ $= \sin(180 ^\circ - 30 ^\circ) = \sin 30 ^\circ = \frac{1}{2}$

Matura 2019, zadanie 2. Pierwszy krok to rozpoznanie wzoru na cosinus podwojonego kąta: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2 \alpha$ Zatem $\cos^{2} 105 ^\circ - \sin^{2} 105 ^\circ = \cos 210 ^\circ$. Drugi krok to redukcja: $\cos 210 ^\circ = \cos(180 ^\circ + 30 ^\circ) = -\cos 30 ^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$