Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Wzory redukcyjne i okresowość

Powtarza się co stały odcinek. Dodanie okresu do argumentu niczego nie zmienia.

Definicja

Funkcja okresowa

Funkcja ff jest okresowa o okresie T>0T > 0, gdy dla każdego xx z dziedziny f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x).
Definicja

Zmiana funkcji na kofunkcję

Przy kątach π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha oraz 3π2±α\frac{3\pi}{2} \pm \alpha funkcja ZMIENIA SIĘ na kofunkcję: sin⁡⟷cos⁡\sin \longleftrightarrow \cos, tg⟷ctg\text{tg} \longleftrightarrow \text{ctg}. Przy kątach π±α\pi \pm \alpha oraz 2π±α2\pi \pm \alpha funkcja ZOSTAJE.

Po ludzku

Decyduje to, czy odbijamy od osi PIONOWEJ, czy POZIOMEJ.

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2019, zadanie 2 (1 pkt). Liczba cos⁡2105∘−sin⁡2105∘\cos^{2} 105 ^\circ - \sin^{2} 105 ^\circ jest równa A. −32-\frac{\sqrt{3}}{2} B. −12-\frac{1}{2} C. 12\frac{1}{2} D. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. Cztery przykłady, jeden schemat. sin⁡(π−α)\sin(\pi - \alpha): kąt w II ćwiartce, sinus dodatni, funkcja zostaje →sin⁡α\to \sin \alpha cos⁡(π−α)\cos(\pi - \alpha): kąt w II ćwiartce, cosinus ujemny →−cos⁡α\to -\cos \alpha
    sin⁡(π2+α)\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)
    : II ćwiartka, sinus dodatni, funkcja się zmienia →cos⁡α\to \cos \alpha
    cos⁡(π2+α)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)
    : II ćwiartka, cosinus ujemny, funkcja się zmienia →−sin⁡α\to -\sin \alpha
  3. Na liczbach.
    sin⁡1230∘=sin⁡(1230∘−3⋅360∘)=sin⁡150∘\sin 1230 ^\circ = \sin(1230 ^\circ - 3 \cdot 360 ^\circ) = \sin 150 ^\circ
    =sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12= \sin(180 ^\circ - 30 ^\circ) = \sin 30 ^\circ = \frac{1}{2}
  4. Matura 2019, zadanie 2. Pierwszy krok to rozpoznanie wzoru na cosinus podwojonego kąta:
    cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2 \alpha
    Zatem cos⁡2105∘−sin⁡2105∘=cos⁡210∘\cos^{2} 105 ^\circ - \sin^{2} 105 ^\circ = \cos 210 ^\circ. Drugi krok to redukcja:
    cos⁡210∘=cos⁡(180∘+30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos 210 ^\circ = \cos(180 ^\circ + 30 ^\circ) = -\cos 30 ^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}