Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Miara łukowa i funkcje dowolnego kąta

Kąt mierzymy nie stopniami, tylko długością łuku, jaki wycina na okręgu o promieniu 11.

Definicja

Miara łukowa kąta (radian)

Kąt środkowy ma miarę 11 radiana, gdy wycina na okręgu łuk o długości równej promieniowi.
Definicja

Sinus i cosinus dowolnego kąta

Dla kąta α\alpha odmierzonego od dodatniej półosi OxO x punkt PP na okręgu jednostkowym ma współrzędne
P=(cos⁡α,sin⁡α)P = (\cos \alpha, \sin \alpha)

Po ludzku

To współrzędne punktu na okręgu o promieniu 11.

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2025, zadanie 3 (3 pkt). W trójkącie równobocznym ABCA B C punkt DD leży na boku BCB C. Stosunek pola trójkąta ABDA B D do pola trójkąta ADCA D C jest równy 3−12\frac{\sqrt{3} - 1}{2}. Oblicz miarę kąta DACD A C.
  2. Wartości, które warto mieć w głowie. 30∘=π630 ^\circ = \frac{\pi}{6}, 45∘=π445 ^\circ = \frac{\pi}{4}, 60∘=π360 ^\circ = \frac{\pi}{3},
    90∘=π290 ^\circ = \frac{\pi}{2}
    120∘=2π3120 ^\circ = \frac{2\pi}{3}
    , 135∘=3π4135 ^\circ = \frac{3\pi}{4}, 180∘=π180 ^\circ = \pi,
    270∘=3π2270 ^\circ = \frac{3\pi}{2}
  3. Typowy krok z arkusza. Dane: cos⁡β=−13\cos \beta = -\frac{1}{3} oraz β∈(π,3π2)\beta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right). sin⁡2β=1−19=89\sin^2 \beta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}, więc ∣sin⁡β∣=223|\sin \beta| = \frac{2 \sqrt{2}}{3}. Kąt β\beta jest w III ćwiartce, gdzie sinus jest UJEMNY, więc sin⁡β=−223\sin \beta = -\frac{2 \sqrt{2}}{3}.
  4. Matura 2025, zadanie 3. Trójkąty ABDA B D i ADCA D C mają wspólny bok ADA D oraz ∣AB∣=∣AC∣|A B| = |A C| (trójkąt jest równoboczny). Oznaczmy ∣∠DAC∣=φ|\angle D A C| = \varphi, więc ∣∠BAD∣=60∘−φ|\angle B A D| = 60 ^\circ - \varphi.
    PABDPADC=sin⁡(60∘−φ)sin⁡φ=3−12\frac{P_{A B D}}{P_{A D C}} = \frac{\sin(60 ^\circ - \varphi)}{\sin \varphi} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}