Pola figur i dowody geometryczne

Skala $k$ dotyczy DŁUGOŚCI. Pole jest iloczynem dwóch długości, więc rośnie jak $k$ do kwadratu.

Definicja

Stosunek pól figur podobnych

Jeżeli figury

F_1

F_2

są podobne w skali

k

, czyli każdy odcinek pierwszej jest

k

razy dłuższy od odpowiadającego mu odcinka drugiej, to

\frac{P_1}{P_2} = k^2

Matura rozszerzona, maj 2024, zadanie 9 (4 pkt). Dany jest kwadrat $A B C D$ o boku długości $a$ . Punkt $E$ jest środkiem boku $C D$ . Przekątna $B D$ dzieli trójkąt $A C E$ na dwie figury: $A G F$ oraz $C E F G$ . Oblicz pola figur $A G F$ oraz $C E F G$ .
Matura 2024, zadanie 9. Ustawmy $A = (0,0)$ , $B = (a,0)$ , $C = (a,a)$ , $D = (0,a)$ , więc $E = (a / 2, a)$ . Przekątna $B D$ ma równanie $x + y = a$ . Przecina $A C$ (prostą $y = x$ ) w $G = (a / 2, a / 2)$ , a $A E$ (prostą $y = 2x$ ) w $F = (a / 3, (2a) / 3)$ .
$P_{A G F} = \frac{1}{2} |x_G y_F - x_F y_G| = \frac{1}{2} |\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{6}| = \frac{a^2}{12}$