Dwumian Newtona

Gotowy przepis na rozwinięcie $(a + b)^n$ — każdy składnik to jeden wyraz sumy, a symbol Newtona liczy, ile razy się powtarza.

Definicja

Dla liczby naturalnej

n \ge 1

(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Przykłady

Matura rozszerzona, maj 2016, zadanie 1 (1 pkt). W rozwinięciu wyrażenia $(2 \sqrt{3} x + 4y)^3$ współczynnik przy iloczynie $x y^2$ jest równy A. $32 \sqrt{3}$ B. $48$ C. $96 \sqrt{3}$ D. $144$
Sprawdzenie na czwartej potędze.
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4$
Wykładniki: $4+0$ , $3+1$ , $2+2$ , $1+3$ , $0+4$ — wszędzie cztery.
Trzy nawiasy, jeden składnik. W $(a + b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$ składnik $a b^2$ powstaje wtedy, gdy z jednego nawiasu bierzemy $a$ , a z dwóch pozostałych $b$ . Nawias z literą $a$ da się wybrać na $\binom{3}{1} = 3$ sposoby, więc
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$
Matura 2016, zadanie 1. Tu $a = 2 \sqrt{3} x$ , $b = 4y$ , $n = 3$ . Szukamy składnika z $x y^2$ , czyli $k = 2$ :
$T_2 = \binom{3}{2} (2 \sqrt{3} x)^1 (4y)^2$
$= 3 \cdot 2 \sqrt{3} x \cdot 16 y^2 = 96 \sqrt{3} x y^2$
Typowa pomyłka. $(2 \sqrt{3} x)^2 = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12 x^2$ a NIE $2 \sqrt{3} x^2$ .
Sześcian różnicy.
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3$