Symbol Newtona w kombinatoryce

Liczba sposobów wybrania $k$ elementów z $n$ — bez zwracania uwagi na kolejność.

Definicja

Symbol Newtona

Dla liczb całkowitych

0 \le k \le n

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

Matura rozszerzona, maj 2024, zadanie 6 (3 pkt). Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
Dwa liczenia tego samego. Podzbiorów zbioru $n$ -elementowego jest $2^n$ — każdy element niezależnie wchodzi do podzbioru albo nie. Z drugiej strony można je policzyć według LICZNOŚCI: pustych $\binom{n}{0}$ , jednoelementowych $\binom{n}{1}$ , i tak dalej.
Matura 2024, zadanie 6. Trzy cyfry nieparzyste i dwie parzyste to liczba PIĘCIOCYFROWA. Wybór: $\binom{5}{3}$ nieparzystych z pięciu i $\binom{5}{2}$ parzystych z pięciu. Ustawienie: $5!$ .
$10 \cdot 10 \cdot 120 = 12 \, 000$
Odejmujemy liczby zaczynające się od zera:
$\binom{5}{3} \cdot 4 \cdot 4! = 10 \cdot 4 \cdot 24 = 960$