Szereg geometryczny

Przykłady

1. 1.
   Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 10 (4 pkt). Kwadrat $K_1$ ma bok długości $a$. Każdy wierzchołek kwadratu $K_{n}$ leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$. Obwody wszystkich tych kwadratów tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich jego wyrazów.
2. 2.
   Z sumy $n$ początkowych wyrazów.

   $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

   Gdy $|q| < 1$, to $q^n \to 0$, więc

   $S_n \to a_1 \cdot \frac{1}{1 - q}$
3. 3.
   Zamiana 0,(3) na ułamek zwykły.

   $0\text{,(3)} = 0\text{,3} + 0\text{,03} + 0\text{,003} + \dots$

   To szereg o $a_1 = 0\text{,3}$ i $q = 0\text{,1}$, więc

   $S = \frac{0\text{,3}}{1 - 0\text{,1}} = \frac{0\text{,3}}{0\text{,9}} = \frac{1}{3}$
4. 4.
   Matura 2023, zadanie 10. Wierzchołek $K_2$ dzieli bok $K_1$ w stosunku $1 : 3$, więc odcina od niego części $a / 4$ i $3a / 4$. Bok $K_2$ to przeciwprostokątna:

   $a_2 = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{3a}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{10 a^2}{16}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

   Iloraz obwodów: $q = (\sqrt{10}) / 4 \approx 0\text{,79} < 1$.
5. 5.
   Typowy pierwszy krok z arkusza. Dane: $a_3 + a_6 = -84$ oraz $a_4 + a_7 = 168$. Każdy wyraz drugiego równania jest $q$ razy większy od odpowiadającego mu wyrazu pierwszego:

   $a_4 + a_7 = q(a_3 + a_6)$

   $168 = q \cdot (-84) \quad \Rightarrow \quad q = -2$