Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Informacja, że zaszło $B$ , zawęża przestrzeń zdarzeń do samego $B$ — i wszystko liczymy już w niej.

Definicja

Prawdopodobieństwo warunkowe

Dla

P(B) > 0

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Definicja

Jeżeli zdarzenia

B_1, \dots, B_n

wykluczają się i wypełniają całą przestrzeń, to

P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)

Po ludzku

Rozbijamy zdarzenie na przypadki, liczymy je osobno i dodajemy.

Definicja

Zdarzenia

A

B

są niezależne, gdy

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

równoważnie:

P(A|B) = P(A)

dla

P(B) > 0

Po ludzku

Wiedza o jednym zdarzeniu niczego nie zmienia w prawdopodobieństwie drugiego.

Matura rozszerzona, maj 2021, zadanie 9 (4 pkt). Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $15$ , jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez $18$ .
Matura 2021, zadanie 9. Warunek zawęża przestrzeń do liczb czterocyfrowych podzielnych przez $18$ :
$|B| = \lfloor \frac{9999}{18} \rfloor - \lfloor \frac{999}{18} \rfloor = 555 - 55 = 500$
Sprzyjają te podzielne jednocześnie przez $15$ i $18$ , czyli przez $\text{NWW}(15, 18) = 90$ :
$|A \cap B| = 111 - 11 = 100$