Schemat Bernoulliego

Przykłady

1. 1.
   Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 2 (3 pkt). Tomek i Romek rozegrają pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii.
2. 2.
   Trzy rzuty monetą, dokładnie dwa orły. Jeden konkretny układ — na przykład ORO — ma prawdopodobieństwo

   $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1$

   Takich układów jest $\binom{3}{2} = 3$ (OOR, ORO, ROO), więc

   $P = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{3}{8}$
3. 3.
   Matura 2023, zadanie 2. $n = 5$, $p = 1 / 4$, $q = 3 / 4$. „Co najmniej cztery” to dwa przypadki: $k = 4$ i $k = 5$.

   $P_5 (4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024}$

   $P_5 (5) = \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{1024}$
4. 4.
   Typowe pytanie odwrotne. Ile razy trzeba rzucić kostką, żeby prawdopodobieństwo otrzymania choć jednej szóstki przekroczyło $0\text{,9}$?

   $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n > 0\text{,9} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{5}{6}\right)^n < 0\text{,1}$

   Logarytmujemy: $n > (\log 0\text{,1}) / (\log (5 / 6)) \approx 12\text{,6}$, więc $n \ge 13$.