Prosta i okrąg w układzie współrzędnych

Zbiór punktów odległych od środka o $r$ . Postać kanoniczna pokazuje środek i promień wprost.

Definicja

Równanie okręgu

Okrąg o środku

S = (a, b)

i promieniu

r > 0

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Matura rozszerzona, maj 2021, zadanie 10 (4 pkt). Prosta przechodząca przez punkty $A = (8, -6)$ i $B = (5, 15)$ jest styczna do okręgu o środku $O = (0, 0)$ . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $A B$ .
Z postaci ogólnej do kanonicznej.
$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 8 = 0$
$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = -8 + 16 + 9$
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 17$
Matura 2021, zadanie 10. Prosta $A B$ : kierunek $\vec{A B} = [-3, 21]$ , więc wektorem normalnym jest $[7, 1]$ i $7x + y - 50 = 0$ (sprawdzenie: $7 \cdot 5 + 15 = 50$ ).
$r = d(O, A B) = \frac{|-50|}{\sqrt{49 + 1}} = \frac{50}{5 \sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$
Na liczbach. Okrąg $x^2 + y^2 = 25$ , punkt $P = (3, 4)$ . Wektor normalny $[3, 4]$ , więc styczna: $3x + 4y = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 25$ .