Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Wektory w układzie współrzędnych

Współrzędne wektora to KONIEC MINUS POCZĄTEK — w tej kolejności i nigdy odwrotnie.

Definicja

Wektor o początku AA i końcu BB

Dla A=(xA,yA)A = (x_A, y_A) i B=(xB,yB)B = (x_B, y_B):
AB⃗=[xB−xA,yB−yA]\vec{A B} = [x_B - x_A, y_B - y_A]
Definicja

Iloczyn skalarny

u⃗∘v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡φ\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \varphi

Po ludzku

Liczba, nie wektor. Mówi o kącie między wektorami — a zeruje się dokładnie przy kącie prostym.

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2017, zadanie 4 (1 pkt). Dane są punkt B=(−4,7)B = (-4, 7) i wektor u⃗=[−3,5]\vec{u} = [-3, 5]. Punkt AA taki, że AB⃗=−3u⃗\vec{A B} = -3 \vec{u}, ma współrzędne A. (5,−8)(5, -8) B. (−13,22)(-13, 22) C. (9,−15)(9, -15) D. (12,24)(12, 24)
  2. Matura 2017, zadanie 4.
    AB⃗=−3u⃗=−3⋅[−3,5]=[9,−15]\vec{A B} = -3 \vec{u} = -3 \cdot [-3, 5] = [9, -15]
    Z definicji AB⃗=[xB−xA,yB−yA]\vec{A B} = [x_B - x_A, y_B - y_A], więc
    xB−xA=9orazyB−yA=−15x_B - x_A = 9 \quad \text{oraz} \quad y_B - y_A = -15
    xA=−4−9=−13,yA=7+15=22x_A = -4 - 9 = -13, \quad y_A = 7 + 15 = 22
  3. Na liczbach. u⃗=[1,3]\vec{u} = [1, \sqrt{3}], v⃗=[1,0]\vec{v} = [1, 0].
    cos⁡φ=1+02⋅1=12⇒φ=60∘\cos \varphi = \frac{1 + 0}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \varphi = 60 ^\circ
  4. Jak to rozwiązać.
    AM⃗=−2BM⃗\vec{A M} = -2 \vec{B M}
    M−A=−2(M−B)M - A = -2(M - B) M−A=−2M+2BM - A = -2M + 2B
    3M=A+2B⇒M=A+2B33M = A + 2B \quad \Rightarrow \quad M = \frac{A + 2B}{3}