Ciąg geometryczny

W arytmetycznym do każdego wyrazu dodawaliśmy to samo. Tu przez to samo mnożymy. Cała reszta — wzory, własności — bierze się z tej jednej różnicy.

Definicja

Ciąg

(a_n)

nazywamy geometrycznym, gdy istnieje liczba

q \ne 0

taka, że dla każdego

n \ge 1

a_{n+1} = a_n \cdot q

Liczbę

q

nazywamy ilorazem ciągu. Wszystkie wyrazy muszą być różne od zera.

Przykłady

$a_1, \quad a_1 q, \quad a_1 q^2, \quad a_1 q^3, \quad \dots$
Do drugiego wyrazu mnożymy raz, do trzeciego dwa razy — do $n$ -tego o jeden raz mniej, niż wynosi numer.
$q = 2$ :
$\quad 1, 2, 4, 8, \dots$
$q = 1 / 2$ :
$\quad 8, 4, 2, 1, \dots$
$q = -2$ :
$\quad 1, -2, 4, -8, \dots$
Czy $2, 6, 18$ tworzą ciąg geometryczny?
$6^2 = 36 \quad \quad 2 \cdot 18 = 36$
Tak.
$1 + 2 + 4 + \dots + 2^9$
, czyli $a_1 = 1$ , $q = 2$ , $n = 10$ :
$S_{10} = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$