Powtórka: geometria analityczna i stereometria

Odległość to Pitagoras na różnicach współrzędnych, a środek odcinka to średnia współrzędnych obu końców.

Definicja

Podstawowe wzory w układzie współrzędnych

|A B| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Definicja

Figura o równaniu

F(x, y) = 0

to zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają to równanie. Punkty wspólne dwóch figur znajdujemy, rozwiązując układ ich równań.

Po ludzku

Punkt należy do figury dokładnie wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie. Cała geometria analityczna sprowadza się do podstawiania i rozwiązywania równań.

Przykłady

$A = (1, 2)$ oraz $B = (5, 8)$ . Długość odcinka:
$|A B| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$
Środek: $S = \left(\frac{1 + 5}{2}, \, \frac{2 + 8}{2}\right) = (3, 5)$ . Współczynnik kierunkowy: $a = \frac{8 - 2}{5 - 1} = \frac{3}{2}$ . Równanie prostej: $y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ .
$y = 2x - 1$ i $y = -x + 5$ :
$2x - 1 = -x + 5 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad y = 3$
Punkt przecięcia: $(2, 3)$ .