Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Pierwiastki

Pytanie „ile to 49\sqrt{49}” znaczy: jaką liczbę trzeba podnieść do kwadratu, żeby wyszło 49. Odpowiedź to 7 — i tylko 7.

Definicja
Dla liczby a≥0a \ge 0 pierwiastkiem kwadratowym z aa nazywamy tę liczbę nieujemną bb, dla której b2=ab^2 = a.
a=b⇔b2=a oraz b≥0\sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a \text{ oraz } b \ge 0
Definicja
Pierwiastkiem sześciennym z liczby aa nazywamy tę liczbę bb, dla której b3=ab^3 = a. Piszemy b=a3b = \sqrt[3]{a}.

Po ludzku

To samo pytanie, tylko o trzecią potęgę. I jedna ważna różnica: tu wolno pierwiastkować liczby ujemne, bo sześcian liczby ujemnej też jest ujemny.

Przykłady

  1. 49=70,25=0,5916=34\sqrt{49} = 7 \quad \quad \sqrt{0\text{,25}} = 0\text{,5} \quad \quad \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}
  2. 83=2273=3−643=−4183=12\sqrt[3]{8} = 2 \quad \quad \sqrt[3]{27} = 3 \quad \quad \sqrt[3]{-64} = -4 \quad \quad \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}
  3. 2⋅8=16=4753=25=5\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \quad \quad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5
  4. 9+16=3+4=7ale9+16=25=5\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \quad \quad \text{ale} \quad \quad \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
  5. 72=36⋅2=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}
    Rozkład 72=9⋅8=38\sqrt{72} = \sqrt{9 \cdot 8} = 3 \sqrt{8} też jest poprawny, ale niedokończony — w 8\sqrt{8} wciąż siedzi kwadrat.
  6. 35=9⋅5=4527=283 \sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \quad \quad 2 \sqrt{7} = \sqrt{28}
    Przydaje się przy porównywaniu: co jest większe, 323 \sqrt{2} czy 252 \sqrt{5}? Wsuwamy oba pod pierwiastek i porównujemy 18 z 20.