Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Proste równoległe i prostopadłe

Równoległe to takie o tym samym nachyleniu. Prostopadłe — takie, których nachylenia mnożą się do −1-1. Drugi warunek nie jest oczywisty i trzeba go zapamiętać.

Definicja

Warunki na współczynniki kierunkowe

Dla prostych y=a1x+b1y = a_1 x + b_1 oraz y=a2x+b2y = a_2 x + b_2:
roˊwnoległe⇔a1=a2prostopadłe⇔a1⋅a2=−1\text{równoległe} \Leftrightarrow a_1 = a_2 \quad \quad \text{prostopadłe} \Leftrightarrow a_1 \cdot a_2 = -1

Przykłady

  1. Proste y=2x+1y = 2x + 1 i y=2x−7y = 2x - 7 są równoległe. Druga leży 8 jednostek niżej, ale biegnie dokładnie tak samo stromo.
  2. Prosta równoległa do y=4x−7y = 4x - 7 przechodząca przez (2,3)(2, 3):
    a=4⇒3=4⋅2+b⇒b=−5y=4x−5\begin{aligned}a &= 4 \quad \Rightarrow \quad 3 = 4 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = -5 \\ y &= 4x - 5\end{aligned}
  3. Prosta prostopadła do y=2x+1y = 2x + 1 przechodząca przez (4,3)(4, 3):
    a2=−12⇒3=−12⋅4+b=−2+b⇒b=5y=−12x+5\begin{aligned}a_2 &= -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + b = -2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 5 \\ y &= -\frac{1}{2} x + 5\end{aligned}
  4. Odcinek o końcach (1,2)(1, 2) i (5,4)(5, 4): środek (3,3)(3, 3), nachylenie odcinka 1/21 / 2, więc symetralna ma a=−2a = -2:
    3=−2⋅3+b⇒b=9⇒y=−2x+93 = -2 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 9 \Rightarrow y = -2x + 9