Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Procenty

„Procent” znaczy dosłownie na sto. 15% to 15 części ze stu, czyli ułamek 15/10015 / 100. Zapis ze znakiem % nie wnosi nic nowego — to skrót na dzielenie przez 100.

Definicja
pp% = \frac{p}{100} \quad \quad \quad p% \text{liczby }a = \frac{p}{100} \cdot a
Liczbę aa nazywamy podstawą procentu. To ona jest całością, czyli 100%.
Definicja

Współczynnik zmiany

Wielkość aa po zmianie o pp% wynosi a⋅qa \cdot q, gdzie
q=1+p100 (wzrost)q=1−p100 (spadek)q = 1 + \frac{p}{100} \text{ (wzrost)} \quad \quad q = 1 - \frac{p}{100} \text{ (spadek)}

Po ludzku

Zamiast liczyć osobno „o ile” i potem dodawać, mnożymy raz przez liczbę, która od razu daje wynik końcowy. Wzrost o 15% to mnożenie przez 1,151\text{,15}, spadek o 15% — przez 0,850\text{,85}.
Definicja

Punkt procentowy

Punkt procentowy (p.p.) to jednostka różnicy dwóch wartości procentowych: p2p_2% - p_1% wynosi p2−p1p_2 - p_1 punktów procentowych.

Po ludzku

Gdy porównujesz dwie wielkości, które same są procentami, ich różnicę podajesz w punktach procentowych. Inaczej nie wiadomo, czy „wzrost o 2%” znaczy z 8% na 10%, czy z 8% na 8,16%.
Definicja

Procent składany

Kapitał początkowy K0K_0 przy stopie pp% na okres, po nn okresach kapitalizacji:
Kn=K0⋅(1+p100)nK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Po ludzku

Odsetki z pierwszego roku zostają na koncie i w drugim roku same procentują. Dlatego to nie mnożenie przez nn, tylko potęga.

Przykłady

  1. 2525% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \quad \quad 150% = 1\text{,5} \quad \quad 0\text{,5}% = 0\text{,005}
    Procent większy od 100 jest zupełnie normalny — oznacza więcej niż całość. Procent mniejszy od 1 też.
  2. „Cena wzrosła o 20%, a potem spadła o 20%” — w pierwszej zmianie całością jest cena wyjściowa, w drugiej już nowa, wyższa cena. Stąd bierze się cała pułapka tego zdania.
  3. Cena 240 zł rośnie o 15%: 240⋅1,15=276240 \cdot 1\text{,15} = 276 zł. Jedno działanie zamiast dwóch — przy zmianach złożonych przestaje to być drobiazgiem.
  4. Pensja 4200 zł spada o 8%, a potem rośnie o 8%:
    4200⋅0,92⋅1,08=4173,12 zł4200 \cdot 0\text{,92} \cdot 1\text{,08} = 4173\text{,12} \text{ zł}
  5. Bezrobocie spadło z 8% do 6%. - Różnica bezwzględna: 8−6=28 - 6 = 2 punkty procentowe - Zmiana względna: 8−68⋅100\frac{8 - 6}{8} \cdot 100% = 25% — bezrobocie spadło o jedną czwartą swojej poprzedniej wartości
  6. 10 000 zł na 4% rocznie, po każdym roku mnożymy przez 1,041\text{,04}:
    10000⋅1,043≈11248,64 zł10000 \cdot 1\text{,04}^3 \approx 11248\text{,64} \text{ zł}