Dowody monotoniczności i uzasadnianie modelu

Przykłady

1. 1.
   Matura rozszerzona, maj 2025, zadanie 12.1 (2 pkt). Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$. Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$, wyraża się wzorem

   $V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 h^3}{h^2 - 25}$
2. 2.
   Funkcja $f(x) = x^2 + 4x$ jest rosnąca dla $x \ge -2$. Niech $-2 \le x_1 < x_2$. Wtedy

   $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - x_1^2) + 4(x_2 - x_1)$

   $= (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 + 4)$

   Pierwszy czynnik jest dodatni z założenia. Drugi też: skoro $x_1 \ge -2$ i $x_2 > -2$, to $x_1 + x_2 > -4$.
3. 3.
   To samo w dwóch linijkach. $f(x) = x^2 + 4x$, więc $f'(x) = 2x + 4 = 2(x + 2)$. Dla $x > -2$ mamy $f'(x) > 0$, więc funkcja jest rosnąca na $\langle-2; +\infty)$.
4. 4.
   Dla każdego $x > 0$ zachodzi $x + \frac{1}{x} \ge 2$. Niech $g(x) = x + \frac{1}{x} - 2$ dla $x > 0$.

   $g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$

   Dla $x \in (0, 1)$ pochodna jest ujemna, dla $x > 1$ dodatnia, więc $g$ osiąga w $x = 1$ wartość najmniejszą.

   $g(1) = 1 + 1 - 2 = 0$
5. 5.
   Zdanie, które trzeba napisać. „Funkcja maleje na całym przedziale $(a, x_0)$ i rośnie na całym przedziale $(x_0, b)$, więc $f(x_0)$ jest jej wartością najmniejszą w całej dziedzinie.”