Liczenie pochodnych

Przykłady

1. 1.
   Matura rozszerzona, maj 2016, zadanie 4 (1 pkt). Funkcja $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem A.

   $\frac{-3x^2 + 2x + 12}{(x^2 + 4)^2}$

   B.

   $\frac{-9x^2 + 2x - 12}{(x^2 + 4)^2}$

   C.

   $\frac{3x^2 - 2x - 12}{(x^2 + 4)^2}$

   D.

   $\frac{9x^2 - 2x + 12}{(x^2 + 4)^2}$
2. 2.
   Wielomian różniczkuje się wyraz po wyrazie.

   $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 9$

   $f'(x) = 12x^2 - 10x + 7$
3. 3.
   Matura 2016, zadanie 4. $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$, więc $f' _\text{góry} = 3$, $f' _\text{dołu} = 2x$.

   $f'(x) = \frac{3(x^2 + 4) - (3x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}$

   $= \frac{3x^2 + 12 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 12}{(x^2 + 4)^2}$
4. 4.
   Trzy przykłady, jeden schemat.

   $((3x - 1)^5)' = 5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$

   $(\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

   $((x^2 - 4)^3)' = 3(x^2 - 4)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 - 4)^2$
5. 5.
   Skrócenie przed różniczkowaniem. $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$ dla $x \ne 2$, więc $f'(x) = 2x + 2$.