Przejdź do treści
Atomowe Korki
Darmowa lekcja

Pochodna a monotoniczność i ekstrema

Pochodna to nachylenie. Dodatnie nachylenie na całym przedziale znaczy, że funkcja idzie tam w górę.

Definicja

Znak pochodnej a monotoniczność

Jeżeli f′(x)>0f'(x) > 0 dla każdego xx z przedziału, to ff jest na tym przedziale rosnąca. Jeżeli f′(x)<0f'(x) < 0 dla każdego xx z przedziału, to ff jest na tym przedziale malejąca.
Definicja

Warunek konieczny ekstremum

Jeżeli ff ma w punkcie x0x_0 ekstremum lokalne i jest w nim różniczkowalna, to f′(x0)=0f'(x_0) = 0.

Po ludzku

W ekstremum funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć (lub odwrotnie), więc jej nachylenie musi po drodze przejść przez zero.
Definicja

Kiedy jest ekstremum

Jeżeli f′(x0)=0f'(x_0) = 0 oraz f′f' zmienia znak w x0x_0 z dodatniego na ujemny, to ff ma w x0x_0 maksimum lokalne. Jeżeli znak zmienia się z ujemnego na dodatni — minimum lokalne.

Po ludzku

Pochodna musi po przejściu przez x0x_0 zmienić znak — z plusa na minus (maksimum) albo z minusa na plus (minimum).

Przykłady

  1. Matura rozszerzona, maj 2023, zadanie 12.2 (4 pkt). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f(x)=x4+x2−6xf(x) = x^4 + x^2 - 6x określonej dla każdej liczby dodatniej xx.
  2. Matura rozszerzona, maj 2024, zadanie 13.2. P(a)=a232+138243aP(a) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + \frac{13824 \sqrt{3}}{a} dla a∈(0,83]a \in (0, 8 \sqrt{3}]. P′(a)=0P'(a) = 0 daje a3=13824a^3 = 13824, czyli a=24a = 24 — a prawy koniec dziedziny to 83≈13,868 \sqrt{3} \approx 13\text{,86}.
  3. Matura 2023, zadanie 12.2. f(x)=x4+x2−6xf(x) = x^4 + x^2 - 6x dla x>0x > 0.
    f′(x)=4x3+2x−6=2(2x3+x−3)f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(2x^3 + x - 3)
    Zgadujemy pierwiastek x=1x = 1 i dzielimy:
    2x3+x−3=(x−1)(2x2+2x+3)2x^3 + x - 3 = (x - 1)(2x^2 + 2x + 3)
    Drugi czynnik ma Δ=4−24<0\Delta = 4 - 24 < 0, więc jest zawsze dodatni. Znak f′f' zależy wyłącznie od (x−1)(x - 1).
  4. Uzasadnienie w jednym zdaniu. Dla x∈(0,1)x \in (0, 1) mamy f′(x)<0f'(x) < 0, a dla x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty) mamy f′(x)>0f'(x) > 0. Funkcja maleje na całym odcinku przed jedynką i rośnie na całym po niej, więc f(1)f(1) jest najmniejszą wartością w całej dziedzinie.