Granice funkcji

Do jakiej liczby zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do $x_0$ — przy czym samego $x_0$ nie podstawiamy.

Definicja

Granica funkcji w punkcie

Piszemy

\lim_{x \to x_0} f(x) = g

, gdy wartości

f(x)

dają się dowolnie zbliżyć do

g

, byle wziąć

x

dostatecznie blisko

x_0

Definicja

\lim_{x \to x_0^-} f(x)

— podchodzimy od lewej (

x < x_0

\lim_{x \to x_0^+} f(x)

— podchodzimy od prawej (

x > x_0

Po ludzku

To samo pytanie, ale z jednej strony: podchodzimy do

x_0

wyłącznie od mniejszych liczb albo wyłącznie od większych.

Definicja

Prosta

x = a

jest asymptotą pionową, gdy choć jedna granica jednostronna w

a

jest nieskończona. Prosta

y = b

jest asymptotą poziomą, gdy

\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b

Po ludzku

Prosta, do której wykres przywiera coraz bliżej, nigdy jej nie dotykając.

Matura rozszerzona, maj 2018, zadanie 4 (1 pkt). Granica $\lim_{x \to 3^-} \frac{-x + 2}{x^2 - 5x + 6}$ jest równa A. $-\infty$ B. $-1$ C. $0$ D. $+\infty$
Bez żadnej sztuczki.
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 3x}{x + 5} = \frac{4 + 6}{7} = \frac{10}{7}$
Skracamy wspólny czynnik.
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3}$
$= \lim_{x \to 3} (x - 2) = 1$
Rozgrzewka, dokończona. $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Przy $x \to 3^-$ : licznik $-x + 2 \to -1$ , $(x - 2) \to 1^+$ , $(x - 3) \to 0^-$ Mianownik dąży do $0^-$ , więc iloraz $\frac{-1}{0^-} \to +\infty$ . Odpowiedź D.
Podstawiamy 2,9 w rozgrzewce. $-x + 2 = -0\text{,9}$ (minus), $x - 2 = 0\text{,9}$ (plus), $x - 3 = -0\text{,1}$ (minus) minus przez (plus razy minus) $=$ plus, więc $+\infty$ .