Pochodna — definicja i interpretacja geometryczna

Zwykłe „o ile w górę na ile w bok” — współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty wykresu.

Definicja

Iloraz różnicowy

Dla funkcji

f

, punktu

x_0

i przyrostu

h \ne 0

\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Definicja

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

jeżeli ta granica istnieje i jest skończona.

Po ludzku

Granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost maleje do zera. Liczba mówiąca, jak stromo funkcja idzie w tym jednym punkcie.

Definicja

Jeżeli

s(t)

opisuje drogę w chwili

t

, to prędkość chwilowa wynosi

v(t) = s'(t)

Po ludzku

Prędkość średnia liczona na coraz krótszym odcinku czasu — w granicy dostajemy prędkość w jednej chwili.

Matura rozszerzona, maj 2019, zadanie 7 (2 pkt). Punkt $P = (10, 2429)$ leży na paraboli o równaniu $y = 2x^2 + x + 2219$ . Prosta o równaniu kierunkowym $y = a x + b$ jest styczna do tej paraboli w punkcie $P$ . Oblicz współczynnik $b$ .
Dla $f(x) = x^2$ w punkcie $x_0$ .
$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0 + h)^2 - x_0^2}{h}$
$= \frac{x_0^2 + 2x_0 h + h^2 - x_0^2}{h} = \frac{2x_0 h + h^2}{h} = 2x_0 + h$
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} (2x_0 + h) = 2x_0$
Matura 2019, zadanie 7. $f(x) = 2x^2 + x + 2219$ , punkt styczności $x_0 = 10$ . Pochodna: $f'(x) = 4x + 1$ , więc $a = f'(10) = 41$ . Styczna przechodzi przez $P$ , więc $2429 = 41 \cdot 10 + b$ , czyli $b = 2429 - 410 = 2019$ .
Funkcja $f(x) = |x|$ w punkcie $0$ . Dla $h > 0$ : $(|h| - 0) / h = h / h = 1$ . Dla $h < 0$ : $(|h| - 0) / h = (-h) / h = -1$ . Granice jednostronne wynoszą $1$ i $-1$ , więc granica nie istnieje — pochodnej w zerze nie ma.