Funkcja wymierna i proporcjonalność odwrotna

Odwrotnie proporcjonalne znaczy: ile razy jedno rośnie, tyle razy drugie maleje. Podwójna prędkość to połowa czasu. Iloczyn zostaje bez zmian — i to on jest tu treścią zadania.

Definicja

Funkcją wymierną (proporcjonalnością odwrotną) nazywamy funkcję

f(x) = \frac{a}{x}, \quad a \ne 0, \quad D = \mathbb{R} \setminus \{0\}

Równoważnie:

x y = a

, czyli iloczyn zmiennych jest stały.

Definicja

Asymptota

Prosta

x = 0

jest asymptotą pionową, a prosta

y = 0

— asymptotą poziomą wykresu funkcji

f(x) = a / x

Po ludzku

Prosta, do której wykres zbliża się dowolnie blisko, ale nigdy jej nie dotyka. Dla

y = a / x

są dwie: obie osie układu.

Przykłady

Kupujesz $x$ bułek po 2 zł — koszt $y = 2x$ rośnie razem z $x$ . To proporcjonalność prosta. Dzielisz 12 bułek między $x$ osób — każda dostaje $y = 12 / x$ . Im więcej osób, tym mniej na osobę. To proporcjonalność odwrotna.
Ośmiu robotników kończy pracę w 15 dni. Ilu potrzeba na 10 dni?
$8 \cdot 15 = n \cdot 10 \quad \Rightarrow \quad n = 12$