Pierwiastki wymierne wielomianu

Żeby poznać resztę z dzielenia przez $(x - a)$ , wystarczy podstawić $a$ do wielomianu.

Definicja

Twierdzenie Bézouta

Reszta z dzielenia wielomianu

W(x)

przez dwumian

(x - a)

jest równa

W(a)

. W szczególności:

W(x)

jest podzielny przez

(x - a)

wtedy i tylko wtedy, gdy

W(a) = 0

Definicja

Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny

\frac{p}{q}

(ułamek nieskracalny), to

p

jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a

q

— dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Po ludzku

Pierwiastka całkowitego szukaj tylko wśród dzielników wyrazu wolnego. Reszty liczb sprawdzać nie warto.

Matura rozszerzona, maj 2022, zadanie 9 (0–4 pkt). Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m$ przez dwumian $x + 2$ jest równa $-30$ . Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \ge 0$ .
Jak to działa. W górnym wierszu współczynniki wielomianu, po lewej liczba $a$ . Pierwszy współczynnik przepisujemy. Każdy następny: pomnóż poprzedni wynik przez $a$ i dodaj kolejny współczynnik. Ostatnia liczba to RESZTA, pozostałe to współczynniki ilorazu.
Od wielomianu do zbioru rozwiązań. 1. Znajdź pierwiastek wśród dzielników wyrazu wolnego. 2. Podziel Hornerem — zostaje wielomian niższego stopnia. 3. Domknij deltą, jeśli został trójmian. 4. Zaznacz pierwiastki na osi i przeciągnij wężyk.